cálculo

El cálculo es una rama de las matemáticas que estudia los cambios y las medidas de magnitud. Sus dos pilares son el cálculo diferencial, que se ocupa de las tasas de variación y de las derivadas, y el cálculo integral, que trata de la acumulación y de las integrales. Sus fundamentos se apoyan en el concepto de límite y se aplica a problemas que involucran áreas, volúmenes, velocidades y curvas.

Historia: Aunque se remonta a métodos de Arquímedes y Cavalieri, el cálculo tal como se conoce se desarrolló a finales del siglo XVII de forma independiente por Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz. Sus ideas permitieron formalizar la relación entre cambio y acumulación. En los siglos XVIII y XIX, matemáticos como Cauchy, Riemann y Weierstrass construyeron fundamentos rigurosos en análisis, aumentando la fiabilidad y extendiendo el cálculo a funciones y espacios más generales.

Conceptos y notación: la derivada mide la pendiente o tasa de cambio de una función; se denota f'(x) o dy/dx. La integral mide la acumulación; puede ser definida como límite de sumas. El teorema fundamental del cálculo conecta ambas ideas. En cálculo multivariable se introducen funciones de varias variables y herramientas como gradiente, integrales múltiples y teoría del campo vectorial. La notación incluye dx, ∫, d^n x, y derivadas parciales ∂f/∂xi.

Aplicaciones: el cálculo es esencial en física, ingeniería, economía y biología para modelar movimiento, optimización, áreas y volúmenes, y para desarrollar métodos numéricos de aproximación cuando las soluciones exactas no son posibles.