derivadas

Derivadas são uma noção central do cálculo que mede a taxa de variação instantânea de uma função. A derivada de f no ponto x0 é definida como o limite f'(x0) = lim h→0 (f(x0+h) - f(x0)) / h, se esse limite existir. Geometricamente, a derivada representa a inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto x0 e a taxa de variação de y em relação a x.

Notação comum inclui f'(x), df/dx e Df. A derivada de uma constante é zero; a derivada de uma soma é a soma das derivadas; existem regras como (fg)' = f'g + fg', (f/g)' = (f'g - fg')/g^2 e a regra da cadeia: (f∘g)'(x) = f'(g(x)) g'(x). Exemplos básicos: d/dx de x^n é n x^{n-1} (n constante); d/dx de e^x é e^x; d/dx de ln x é 1/x (x>0); d/dx de sin x é cos x; d/dx de cos x é -sin x; d/dx de tan x é sec^2 x.

Condições de existência: se f é diferenciável em x0, então f é contínua em x0, mas uma função contínua nem sempre é diferenciável. Pontos de não diferenciabilidade incluem descontinuidades, cuspos ou tangentes verticais.

Derivadas de ordem superior, como f''(x), medem a taxa de variação da taxa de variação e ajudam a entender concavidade e pontos de inflexão: se f''(x) > 0, a curva é côncava para cima; se f''(x) < 0, é côncava para baixo.

Em várias variáveis, as derivadas parciais ∂f/∂x_i generalizam o conceito; o gradiente ∇f junta essas derivadas em um vetor. As derivadas têm aplicações em otimização, física (velocidade, aceleração), economia e ciências naturais, servindo como ferramenta para modelar mudanças e aproximações locais.

História: o cálculo diferencial foi desenvolvido no século XVII por Newton e Leibniz, tornando-se instrumento fundamental na matemática e nas ciências.