concavidade

Concavidade é a propriedade de algo que se curva para dentro. Em matemática, o termo é utilizado para descrever a curvatura de curvas, superfícies, conjuntos e funções.

Em geometria e teoria de conjuntos, um conjunto é côncavo (ou não convexo) quando existem dois pontos do conjunto tal que o segmento que os conecta não está contido inteiramente no conjunto. Um conjunto convexo tem todas as linhas entre pontos do conjunto inteiramente contidas nele. Em polígonos, uma figura é côncava se apresentar pelo menos um ângulo interno maior que 180 graus ou, alternativamente, se houver uma indentação que faça o conjunto deixar de ser convexo.

Em análise de funções, uma função f é côncava em um intervalo se, para quaisquer x1, x2 nesse intervalo e todo t em [0,1], vale f(t x1 + (1-t) x2) ≥ t f(x1) + (1-t) f(x2). Se f é duas vezes diferenciável, essa condição é equivalente a f''(x) ≤ 0 em todo o intervalo. O contrário, f''(x) ≥ 0, caracteriza convexidade.

Aplicações comuns incluem a teoria de otimização (soluções em pontos de máximo para funções côncavas), economia (utilidade côncava, rendimentos decrescentes), engenharia e computação gráfica, onde a compreensão da concavidade ajuda no desenho de curvas, na análise de dados e na modelagem de fenômenos.