diferenciabilidade

Diferenciabilidade é a propriedade de uma função possuir derivada em um ponto ou em um conjunto. Em uma função f: I ⊂ R → R, f é diferenciável em a ∈ I se existe o limite lim_{h→0} [f(a+h) − f(a)]/h, que é o derivado f'(a). Equivalentemente, diz-se que f é diferenciável em a quando pode ser escrita f(a+h) = f(a) + f'(a) h + o(h) quando h→0. Uma função diferenciável é, por consequência, contínua em a. Quando a função é diferenciável em todo o interior de um intervalo, diz-se que é diferenciável nesse intervalo e seu derivado é definida em todos os pontos.

Classes e propriedades: a diferenciabilidade é a base para classes de regularidade. Se f é diferenciável e o seu derivado f' é contínuo, diz-se que f é de classe C^1. Existem classes superiores, como C^k (derivadas de até k-ésima ordem contínuas), até ser suave (C^∞) ou analítica. A differentiabilidade também se estende a funções de várias variáveis: f: R^n → R é diferenciável em a se existe uma aplicação linear L que aproxima f(a+h) com erro little-o de ||h||, isto é, f(a+h) = f(a) + L(h) + o(||h||). A matriz Jacobiana representa esse diferencial. Importa notar que a existência de derivadas parciais não implica differentiabilidade no ponto.

Exemplos comuns: a função f(x) = x^2 é differentiável em todo lugar; f(x) = |x| não é differentiável em x = 0; f(x) = sqrt(x) é diferenciável em x > 0, mas não em x = 0. Em várias variáveis, funções como f(x,y) = |x| + |y| não são differentiáveis no ponto (0,0).

Aplicações: a diferenciabilidade é central na aproximação linear, otimização, teoria de erro, e na definição de derivadas parciais, gradiente e Jacobiano.