Robustheitsoptimierung

Robustheitsoptimierung ist ein Teilgebiet der Optimierung, das Entscheidungsfindung unter Unsicherheit adressiert. Das Ziel besteht darin, Lösungen zu finden, die auch dann akzeptable Leistungen erbringen, wenn die unsicheren Parameter in einem vorgegebenen Unsicherheitsbereich U variieren. Im Gegensatz zur stochastischen Optimierung, die Wahrscheinlichkeitsverteilungen modelliert, arbeitet die robuste Optimierung mit Worst-Case-Performance: Eine Entscheidung x soll für alle u in U eine Zielfunktion f(x, u) minimieren bzw. eine Nebenbedingung g_i(x, u) <= 0 sicherstellen.

Formulierung und Methoden: Eine Standardform ist min_x max_{u in U} f(x, u) unter Nebenbedingungen g_i(x, u) <= 0. Falls U konvex ist und f sowie g in x convex sind (für jedes u), ergeben sich oft konvexe Programme. Wichtige Varianten umfassen robuste lineare Programmierung, robuste quadratische Programmierung sowie verstellbare (adjustable) robuste Optimierung. Die Struktur des Unsicherheitssets U (zum Beispiel polyhedral oder ellipsoidal) bestimmt die Rechenbarkeit und die notwendige Reformulierung, häufig über Dualität oder affine Entscheidungsregeln.

Anwendungsfelder: Robustheitsoptimierung findet Anwendung in Ingenieurwesen, Design- und Strukturoptimierung, Energie- und Versorgungssystemen, Lieferkettenmanagement, Fertigung, Finanzrisiko sowie im maschinellen Lernen, insbesondere bei Modellen, die gegen Datenstörung oder Ausreißer robust sein sollen.

Geschichte und Kontext: Die moderne Robustheitsoptimierung wurde maßgeblich durch Arbeiten von Ben-Tal, El Ghaoui und Nemirovski geprägt; ihr Buch Robust Optimization hat das Feld stark beeinflusst. Robustheit wird oft als Alternative oder Ergänzung zur stochastischen Optimierung gesehen. Kritische Aspekte umfassen Konservatismus und potenzielle Leistungsverluste; aktuelle Entwicklungen umfassen datengetriebene robuste Optimierung und distributionally robust optimization (DRO), die Unsicherheiten stärker in Bezug auf Wahrscheinlichkeitsbereiche modellieren.