Nebenbedingung

Nebenbedingung bezeichnet in der Optimierung eine Bedingung, die die zulässigen Werte der Entscheidungsvariablen zusätzlich zur Zielsetzung einschränkt. Sie bestimmt, welche Vektoren x noch in Betracht gezogen werden dürfen, und definiert damit die Randbedingungen des Problems. Nebenbedingungen können die Form von Gleichungen oder Ungleichungen haben und beeinflussen die Form der zulässigen Menge.

Man unterscheidet Gleichungsnebenbedingungen, bei denen h_i(x) = 0 gilt, und Ungleichungsnebenbedingungen, bei denen g_j(x) ≤ 0 oder g_j(x) ≥ 0 gilt. Die Gesamtheit der Bedingungen bildet die zulässige Menge; diese Menge definiert, wo eine Optimierung überhaupt möglich ist. In der Praxis können Nebenbedingungen lineare, nichtlineare, diskrete oder komplexe Abhängigkeiten aufweisen.

Typische Formulierung eines Problems lautet: Minimiere f(x) unter h_i(x) = 0 und g_j(x) ≤ 0. Die Lösung hängt von der Struktur der Funktionen ab; mit Gleichungsnebenbedingungen lassen sich mittels Lagrange-Multiplikatoren notwendige Bedingungen ableiten, bei Ungleichungen kommen die KKT-Bedingungen (Karush-Kuhn-Tucker) zum Einsatz. In der linearen Programmierung sind sowohl Ziel- als auch Nebenbedingungen linear, was oft spezielle Lösungsverfahren erlaubt.

Nebenbedingungen bestimmen die Lage des Optimum, können es an den Rand der zulässigen Menge drängen oder eine Innenoptimum ermöglichen. Sie beeinflussen auch die Komplexität der Lösung und die Stabilität der Ergebnisse. Zur Lösung werden verschiedene Methoden verwendet, etwa Penalty- oder Barrier-Verfahren oder grafische bzw. algorithmische Ansätze.

Beispiele: 1) Minimierung f(x) = x^2 unter der Nebenbedingung x ≥ 1; das Optimum liegt bei x = 1. 2) Minimieren f(x, y) = x^2 + y^2 unter der Gleichung x + y = 1; hier ist das Optimum bei (0.5, 0.5) und f = 0.5.

Anwendungsgebiete reichen von Operations Research, Wirtschaftsplanung, Ingenieurwesen bis zur Umwelt- und Gesundheitsökonomie. Siehe auch: Optimierung, Gleichungs- und Ungleichungsnebenbedingungen, Lagrange-Multiplikatoren, KKT-Bedingungen.