Gleichungsnebenbedingungen

Gleichungsnebenbedingungen sind Gleichungen, die zusätzlich zum Hauptziel einer Optimierungsaufgabe erfüllt sein müssen. Typisch formuliert man ein Problem der Form: Minimiere f(x) mit x in R^n, unter der Bedingung h_i(x) = 0 für i = 1,...,m, wobei f und die Funktionen h_i differentiierbar sein können. Die Vektor-Funktion h(x) = (h_1(x),…,h_m(x)) fasst die Gleichungsnebenbedingungen zusammen.

Die zulässige Menge der Lösungen heißt Feasible Set und besteht aus allen x, die h(x) = 0 erfüllen. Gleichungsnebenbedingungen unterscheiden sich von Ungleichungsnebenbedingungen, die in Form von g_j(x) ≤ 0 auftreten. Gleichungen können linear oder nonlinear sein; lineare Beispiele дают Ax = b, die die Freiheitsgrade des Problems entsprechend reduzieren.

Zur Lösung solcher Probleme verwendet man Lagrange-Multiplikatoren. Man bildet die Lagrange-Funktion L(x,λ) = f(x) + λ^T h(x) und sucht nach Punkten, an denen L stationär ist, während h(x) = 0 gilt. Die notwendigen Bedingungen lauten ∇f(x) + ∇h(x)^T λ = 0 und h(x) = 0; mit geeigneten Regularitätsbedingungen (Constraint Qualification) lassen sich Existenz und Lokalität von Lösungen sicherstellen.

Beispiele verdeutlichen das Vorgehen: Minimiert man f(x,y) = x^2 + y^2 unter der Nebenbedingung x + y = 1, ergibt sich aus dem Lagrange-System x = y = 0,5.

Anwendungen finden sich in Ingenieurwesen, Wirtschaft, Physik sowie im Variations- und Optimalsteuerungsbereich. In der Numerik werden Gleichungsnebenbedingungen durch Penalty-Verfahren oder das augmentierte Lagrange-Verfahren (ALM) behandelt, um die Gleichungen schrittweise zu erfüllen und stabile Lösungen zu erhalten.