Predictieinterval

Predictieinterval, vaak afgekort als PI, is een interval dat aangeeft in welk bereik een toekomstige individuele waarneming zal vallen bij een gegeven waarde van de predictor. Het interval wordt aangehouden met een gekozen betrouwbaarheidsniveau, bijvoorbeeld 95%. Een PI houdt rekening met zowel de onzekerheid in het model als de natuurlijke spreiding van de individuele waarnemingen.

Verschil met een betrouwbaarheidsinterval (CI) is fundamenteel. Een CI geeft het interval waarbinnen het gemiddelde van de populatie voor een bepaalde predictorwaarde zal liggen, bij herhaalde steekproeven. Een PI daarentegen geeft een interval voor een toekomstige afzonderlijke waarneming, die dus bredere spreiding heeft dan het gemiddelde.

Wanneer te gebruiken? Predictie-intervallen komen veelvuldig voor in regressieanalyse en andere modellen waar voorspellingen gedaan worden voor individuele nieuwe waarnemingen, bijvoorbeeld in de economie, geneeskunde of engineering. Ze zijn vooral nuttig wanneer men wil weten hoe onzeker een enkelvoudige voorspelling is, niet alleen wat de gemiddelde trend is.

Berekening in regressie. Voor eenvoudige lineaire regressie Y = β0 + β1X + ε met ε ~ N(0, σ^2) geldt voor een toekomstige observatie bij X = x0: Y0 volgt ongeveer N(ŷ0, σ^2(1 + h0)), waarbij ŷ0 de verwachte waarde is, h0 = (1/n) + ((x0 − x̄)^2 / Sxx) en Sxx = ∑(xi − x̄)^2. De predictie-interval is ŷ0 ± t_{α/2, n-2} · s · sqrt(1 + h0), met s als de geschatte standaardfout van de residuals.

Voorbeeld. Als een regressiemodel voorspelt dat y voor x0 gelijk is aan 10 met een 95% PI van bijvoorbeeld 7 tot 13, betekent dit dat toekomstige waarnemingen bij die x-waarde naar verwachting tussen 7 en 13 liggen in 95% van de gevallen.

Beperkingen. PI’s zijn afhankelijk van het juiste model, de normaliteits- en homoscedasticiteitsveronderstellingen, en de representativiteit van de dataset. Ze kunnen breed zijn bij kleine steekproeven of bij sterke modelonzekerheid.