Pellvergelijking

Pellvergelijking, ook wel Pell-vergelijking genoemd, is een Diophantische vergelijking van de vorm x^2 − D y^2 = 1, waarbij D een niet-velijk-schandelijk positief geheel getal is. In bredere zin verwijst de term ook naar vergelijkingen x^2 − D y^2 = N met N een geheel getal.

Voor D > 0 en geen vierkant bestaat er oneindig veel gehele oplossingsparen (x, y) die voldoen aan x^2 − D y^2 = 1. Het kleinste positieve paar (x1, y1) heet de fundamentele oplossingspaar. Alle oplossingen kunnen worden gegenereerd uit dit paar door machtsvermenigvuldiging in de ring Z[√D]: als x1 + y1√D de fundamentele unit is, dan geldt x_n + y_n√D = (x1 + y1√D)^n, zodat (x_n, y_n) oplossingen oplevert voor elk n ≥ 1.

De methode van de continue breuk van √D levert het fundamentele oplossingspaar op: de periode van de breuk bepaalt de minimale oplossing. Daarnaast bestaan er alternatieve methoden, zoals de Chakravala-methode. Een voorbeeld is D = 2: x^2 − 2y^2 = 1 heeft het fundamentele paar (3, 2); volgende oplossingen zijn (x, y) = (3, 2), (17, 12), (99, 70), enz.

Er bestaat ook de zogenaamde negatieve Pell-vergelijking x^2 − D y^2 = −1, die niet voor elk D solvabel is. In het algemeen geldt echter: als er één oplossing is voor x^2 − D y^2 = N en D > 0 niet-vierkant is, dan zijn er oneindig veel oplossingen voor dezelfde N via vermenigvuldiging met de eenheden.

De Pellvergelijking is genoemd naar John Pell, maar de herkomst van de naam is historisch genuanceerd; Euler maakte de misattributie datangle. Desondanks blijft het principe van het vinden van een fundamentele oplossing en het genereren van alle oplossingen centraal in de studie van Pell-achtige vergelijkingen.