PDEModelle

PDEModelle bezeichnen mathematische Modelle, die Prozesse durch partielle Differentialgleichungen beschreiben. Sie modellieren Größen, die von Raum und Zeit abhängen, wie Temperatur, Druck, Konzentrationen oder elektromagnetische Felder. PDEs treten in vielen Wissenschafts- und Ingenieurdisziplinen auf und ermöglichen die Vorhersage von Dynamik und Verteilung von Größen in komplexen Systemen.

PDEs lassen sich in Grundtypen einteilen: elliptisch, parabolisch und hyperbolisch. Elliptische Modelle (wie Laplace- oder Poisson-Gleichung) beschreiben Gleichgewichtszustände. Parabolische Modelle (z. B. Wärmetransport- oder Diffusionsgleichungen) modellieren die zeitliche Entwicklung mit räumlicher Ausbreitung. Hyperbolische Modelle (wie die Wellengleichung) beschreiben Wellen- oder Transportphänomene mit endlicher Ausbreitungsgeschwindigkeit. Neben linearen treten oft nichtlineare PDEs auf, etwa die Navier–Stokes-Gleichungen in der Fluiddynamik oder Reaktions-Diffusions-Gleichungen in der Biologie.

PDEModelle erfordern Rand- und Anfangsbedingungen sowie eine geeignete Domänengeometrie. Die mathematische Analyse befasst sich mit Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen (Well-posedness) sowie mit Regularität. In der Praxis werden PDEModelle häufig numerisch gelöst, da analytische Lösungen selten vorliegen. Typische Verfahren sind Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Methoden sowie Verfahren zur Zeitintegration.

Anwendungen finden sich in Technik, Physik, Geowissenschaften, Biologie und Wirtschaft. Typische Beispiele umfassen Wärmeleitung, Diffusion, Strömungs- und elektromagnetische Felder, Quantenmechanik sowie finanzmathematische Modelle wie Optionenpreistheorie. Die Entwicklung von PDEModellen umfasst die Modellierung von Geometrie, Materialeigenschaften und Parametern, gefolgt von Validierung durch Experimente oder Messdaten.