Domänengeometrie

Domänengeometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Geometrie von Domänen untersucht. Eine Domäne Ω bezeichnet man als offen und zusammenhängend in der n-dimensionalen Euclidischen Raum oder auf der komplexen Ebene. Zentrales Interesse gilt der Form, Größe und der Beschaffenheit des Randes ∂Ω. Typische Domänenarten sind glatte Domänen mit Grenzregularität (z. B. C^k-Domänen), Lipschitz-Domänen, konvexe Domänen sowie polygonale oder gebrochene Domänen. Die Geometrie der Grenze beeinflusst maßgeblich analytische Eigenschaften von Funktionen, die auf Ω definiert sind.

Im Kern geht es darum, wie die Geometrie die Lösung von Rand- und Anfangsproblemen für partielle Differentialgleichungen beeinflusst. Dazu gehören Regularität von Lösungen, Zugehörigkeit zu Sobolev- oder Hölder-Räumen, Traces, Extensionssätze sowie das Verhalten von Lösungen nahe der Grenze. In zwei Dimensionen spielen zusätzlich Krümmung der Randkurven und die Abbildbarkeit durch konforme Abbildungen eine Rolle.

Wichtige Konzepte umfassen Isoperimetrie, Kapazität, das Modul von Kurvenfamilien und die Geometrie der Parallel- bzw. Minkowski-Körper. Konkrete Beispiele zeigen, wie Kreisdomänen, Rechteckdomänen oder Domänen mit Ecken unterschiedliche analytische Eigenschaften mit sich bringen.

Die Domänengeometrie steht in enger Verbindung mit der Geometrischen Funktionentheorie, der PDE-Theorie und der Spektralgeometrie. Anwendungen finden sich in Strömungs- und Elektrodynamik, Materialwissenschaft und numerischer Simulation, wo die Domänenstruktur die Lösungseigenschaften von Gleichungen bestimmt.

Methoden umfassen geometrische Maßtheorie, konforme Abbildungen, Grenzzustandregularität, Isoperimetrie und numerische Geometrie.