Domänengeometrie
Domänengeometrie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die Geometrie von Domänen untersucht. Eine Domäne Ω bezeichnet man als offen und zusammenhängend in der n-dimensionalen Euclidischen Raum oder auf der komplexen Ebene. Zentrales Interesse gilt der Form, Größe und der Beschaffenheit des Randes ∂Ω. Typische Domänenarten sind glatte Domänen mit Grenzregularität (z. B. C^k-Domänen), Lipschitz-Domänen, konvexe Domänen sowie polygonale oder gebrochene Domänen. Die Geometrie der Grenze beeinflusst maßgeblich analytische Eigenschaften von Funktionen, die auf Ω definiert sind.
Im Kern geht es darum, wie die Geometrie die Lösung von Rand- und Anfangsproblemen für partielle Differentialgleichungen
Wichtige Konzepte umfassen Isoperimetrie, Kapazität, das Modul von Kurvenfamilien und die Geometrie der Parallel- bzw. Minkowski-Körper.
Die Domänengeometrie steht in enger Verbindung mit der Geometrischen Funktionentheorie, der PDE-Theorie und der Spektralgeometrie. Anwendungen
Methoden umfassen geometrische Maßtheorie, konforme Abbildungen, Grenzzustandregularität, Isoperimetrie und numerische Geometrie.