Diffusionsgleichungen

Diffusionsgleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung der räumlichen Verteilung einer Größe u(x,t) in einem Medium, die durch Diffusion beeinflusst wird. Sie werden in vielen Bereichen der Natur- und Ingenieurwissenschaften verwendet, um den Transport von Masse, Wärme oder Konzentrationen zu modellieren.

Die klassische Form bei isotropem, konstantem Diffusionskoeffizienten D lautet in n Raumdimensionen ∂u/∂t = D ∇^2 u, wobei ∇^2 der Laplace-Operator ist. In allgemeineren Fällen mit räumlich variablen Diffusionskoeffizienten oder anisotropem Diffusionsverhalten schreibt man ∂u/∂t = ∇·(D ∇u) bzw. mit D als Diffusionstensor, D = D_ij. Solche Gleichungen treten auch in verwandten Modellen wie der Wärmeleitung auf.

Zu den Grundlösungen gehört der Fall eines unendlichen Raums mit anfänglicher Delta-Verteilung, dessen Lösung der Wärme- bzw. Gauss-Kern ist: u(x,t) = (4πDt)^(-n/2) exp(-|x|^2/(4Dt)). Diese Lösung illustriert den isotropen Diffusionsprozess und verbindet die Gleichung mit dem Konzept der Brownschen Bewegung und der Fokker-Planck-Gleichung.

Anwendungsbereiche umfassen Wärme- und Massentransport, chemische Reaktionen, Biologie (z. B. Morphogen-Diffusion), Materialwissenschaften und Umweltmodellierung. Es existieren lineare Modelle mit konstantem D sowie nichtlineare Varianten, etwa die Poröse-Medium-Gleichung ∂u/∂t = Δ(u^m) mit m > 1.

Numerisch werden Diffusionsgleichungen häufig mit Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- oder Finite-Volumen-Verfahren gelöst, wobei Randbedingungen wie Dirichlet, Neumann oder Robin sowie die Startverteilung u(x,0) maßgebliche Rolle spielen.