Oplossingruimten

Oplossingruimten is een term uit de wiskunde die verwijst naar de verzamelingen van alle oplossingen van een gegeven lineair systeem. In de context van lineaire algebra gaat het meestal om systemen van de vorm Ax = b, waarbij A een matrix is, x een vector van onbekenden en b een vector van constante termen. De oplossingruimte is, indien die bestaat, een subruimte van het vectorruimte R^n (of een daaraan gelijkwaardige ruimte). Als b gelijk is aan nul, spreekt men van de oplossingruimte van het homogene systeem Ax = 0 en is deze ruimte een vectorruimte door de oorsprong, ook wel de nulruimte of kernel van A genoemd. Voor een niet-homogeen systeem Ax = b met een oplossing is de volledige oplossingruimte een mengsel: het is een partiële oplossing x_p plus de nulruimte, oftewel x = x_p + N(A).


De dimensie van de oplossingruimte wordt bepaald door het aantal vrije variabelen en is gerelateerd aan de rang van A via de rang-nulliteitsstelling: dim N(A) = n − rank(A). Een systeem is consistent als b in de kolomruimte van A ligt; anders is de oplossingruimte leeg.


Oplossingruimten worden vaak bepaald via rij-reductie (Gaussian elimination). Men vindt een speciale oplossing door de zogenoemde leidende variabelen te identificeren en vrije variabelen als parameters te beschouwen. De basisvectoren van N(A) geven de richtingen waarin men vrij in de oplossingruimte mag bewegen; voor een niet-homogeen systeem wordt elke oplossing beschreven als een speciale oplossing plus lineaire combinaties van deze basisvectoren.


Toepassingen liggen onder meer in het analyseren van oplossingssets onder lineaire constraints, in de studie van lineaire onafhankelijkheid en in het modelleren van systemen met meerdere mogelijke toestanden.