Nullwahrscheinlichkeiten

Nullwahrscheinlichkeiten bezeichnen Ereignisse, die mit der Wahrscheinlichkeit null auftreten. Formal ist der Ergebnisraum Ω eines Zufallsexperiments, und P ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω. Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω; es hat Nullwahrscheinlichkeit, wenn P(A) = 0. Solche Ereignisse sind nicht notwendigerweise unmöglich; sie können auftreten, wenn das zugrundeliegende Modell stetig ist. Beispiel: Bei einer Gleichverteilung auf dem Intervall [0,1] gilt P({0.5}) = 0, obwohl es theoretisch möglich ist, dass der Zufallswert genau 0.5 annimmt. Gleichwohl ist die Wahrscheinlichkeit, irgendwo in [0,1] zu landen, 1.

Eine zentrale Eigenschaft ist die Abgeschlossenheit unter abzählbaren Vereinigungen: Die Vereinigung abzählbar vieler Nullereignisse hat ebenfalls Nullwahrscheinlichkeit, da P(Union A_n) ≤ Summe P(A_n) = 0. In der Maßtheorie entspricht dies dem Konzept der Nullmengen.

Das Konzept hängt eng mit dem Begriff "fast sicher" (almost surely) zusammen: Ein Ereignis tritt mit Wahrscheinlichkeit 1 ein, während ein Nullereignis fast sicher nicht eintritt. Entsprechende Begriffe werden in der Statistik und Stochastik verwendet, um Ereignisse von vernachlässigbar kleinem Maß zu behandeln.

Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B) ist der Nenner P(B) erforderlich; wenn P(B) = 0, ist P(A|B) im Standardmodell nicht definiert. In der Praxis nutzt man Grenzwerte oder andere Ansätze, um solche Bedingungen sinnvoll zu behandeln.

Siehe auch: Nullmenge, fast sicher, Maßtheorie, Wahrscheinlichkeitsmaß.