Nietorientabel

Niet-orientabel is een wiskundig begrip uit de topologie dat verwijst naar oppervlakken waarop geen consistente globale oriëntatie van de tangentruimte kan worden gekozen over het hele oppervlak. Een oriëntatie op een oppervlak is een lokale richtingkeuze die langs het hele oppervlak vrij continu kan worden voortgezet. Een oppervlak is niet-orientabel als er geen dergelijke wereldwijde oriëntatie bestaat; langs sommige gesloten lussen kan de oriëntatie terugkeren in de tegengestelde richting.

De eenvoudigste voorbeelden zijn de Möbiusstrook en de Klein bottle. De Möbiusstrook heeft slechts één kant en kan in de driedimensionale ruimte worden weergegeven. De Klein bottle is een gesloten niet-orientabel oppervlak dat in R^3 niet zonder zelfdoorsnijding kan worden afgebeeld. Het projectieve vlak is een belangrijk theoretisch voorbeeld van een niet-orientabel oppervlak en speelt een sleutelrol in de classificatie van dergelijke oppervlakken.

In de topologie geldt voor compacte, verbonden niet-orientabele oppervlakken een classificatie: zij zijn de samenstelling (samenvoeging) van k projectieve vlakken, genoteerd als N_k. De Euler-karakteristiek is dan χ = 2 − k, waarbij k het niet-orientabele genus wordt genoemd. Deze invarianten helpen onderscheid te maken tussen verschillende niet-orientabele oppervlakken.

Praktisch gezien heeft orientatie betekenis voor integratie en differentiaalvormen: op een orientabel oppervlak kan men wereldwijd een volumevorm definiëren. Op niet-orientabele oppervlakken kan geen globale oriëntatievorm bestaan, wat invloed heeft op hoe men wiskundige objecten over het oppervlak behandelt. Toch kunnen veel procedés via dubbele dekkers of lokale oriëntaties wel gediend worden.