MonteCarloAnsätze

MonteCarloAnsätze sind eine Familie numerischer Methoden, die Zufallsstichproben verwenden, um komplexe Probleme zu modellieren und zu lösen. Zentrales Prinzip ist die Simulation zufälliger Prozesse und die Auswertung der Stichproben, um Größen wie Integrale, Wahrscheinlichkeiten oder Optimierungswerte abzuschätzen. Durch das Gesetz der großen Zahlen konvergieren Schätzungen mit zunehmender Stichprobengröße gegen den exakten Wert; der Fehler sinkt mit zunehmender Stichprobe.

Typische Varianten umfassen die Monte-Carlo-Integration, die durch Zufallsproben Integrale schätzt, sowie die Monte-Carlo-Simulation dynamischer Systeme. Techniken der Varianzenreduktion wie Importance Sampling, Antithetic Variates und Control Variates erhöhen die Effizienz. Stratified Sampling teilt den Eingangsraum in Teilbereiche, um die Schätzung robuster zu gestalten. Eine wichtige Unterklasse sind Markov-Chain-Monte-Carlo-Methoden (MCMC) wie Metropolis-Hastings oder Gibbs-Sampling, die Abhängigkeiten zwischen aufeinanderfolgenden Proben ausnutzen, um komplexe Zielverteilungen zu erfassen.

Historisch entstanden MonteCarloAnsätze in den 1940er Jahren am Los Alamos National Laboratory, entwickelt von Stanislaw Ulam, John von Neumann und weiteren Forschern zur Lösung physikalischer Probleme. Seitdem fanden sie breite Anwendungen in Physik, Finanzwesen, Risikoanalyse, Bayesianer Inferenz, Chemie, Ingenieurwesen und Statistik.

Zu den Vorteilen zählen relative Einfachheit, Flexibilität und gute Skalierbarkeit auf Parallelhardware. Nachteile umfassen potenziell langsame Konvergenz in sehr hochdimensionalen Räumen und die Notwendigkeit sorgfältiger Validierung von Zufallsquellen und Varianzen. MonteCarloAnsätze bleiben ein zentrales Werkzeug bei Problemen mit komplexen Wahrscheinlichkeitsstrukturen oder schwer integrierbaren Modellen.