MonteCarloAnsätzen

Monte-Carlo-Ansätze bezeichnet eine Gruppe von Methoden in der Statistik und numerischen Mathematik, die Zufallsexperimente nutzen, um komplexe mathematische Probleme zu lösen. Typische Einsatzgebiete ergeben sich, wenn analytische Lösungen schwer oder unmöglich sind oder die Struktur des Problems zu unübersichtlich ist. Aufgaben umfassen die Berechnung von Integralen, die Simulation von Zufallsprozessen, Optimierungen sowie Risiko- und Unsicherheitsanalysen in Physik, Ingenieurwesen, Finanzen und Statistik.

Prinzipiell werden durch zufällige Experimente Erwartungswerte geschätzt. Man zieht Proben aus einer Verteilung, wertet eine Funktion darauf aus und bildet Mittelwerte. Mit wachsender Stichprobengröße konvergieren die Schätzungen gegen das wahre Ergebnis (Gesetz der großen Zahlen). Die Monte-Carlo-Integration schätzt Integrale durch Mittelwerte der Funktionswerte an zufälligen Stellen.

Wichtige Varianten umfassen Monte-Carlo-Simulationen allgemein und Markov-Chain-Monte-Carlo (MCMC), das Proben aus komplexen Verteilungen mittels Markov-Ketten ermöglicht (z. B. Metropolis-Hastings, Gibbs-Sampling). Weitere Techniken sind Importance Sampling, Stratified Sampling und Variance Reduction. Quasi-Monte-Carlo nutzt gut verteilte, deterministische Folgen statt rein zufälliger Proben, um die Konvergenz zu beschleunigen.

Anwendungen finden sich in Physik (Strahlungs- und Teilchen-Simulationen), Finanzmathematik (Preisbildung von Derivaten, Risikobewertung), Ingenieurwesen, Statistik, Epidemiologie und im Maschinellen Lernen (Bayesian Inference, Posterior-Sampling).

Vor- und Nachteile: Vorteile liegen in großer Flexibilität, geringer Modellierungsaufwand, leichter Parallelisierung und guter Skalierbarkeit. Herausforderungen sind langsame Konvergenz bei hohen Genauigkeitsanforderungen, hohe Varianz und die Abhängigkeit von geeigneten Varianzenreduktions- und Abtasttechniken.