Maßtheorie

Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit der Zuordnung von Mengen zu nichtnegativen Zahlen (Maßen) und der Messbarkeit von Funktionen befasst. Die zentrale Struktur ist ein Maßraum (X, Σ, μ), wobei X eine Menge, Σ eine σ-Algebra über X und μ eine Maßfunktion ist. Eine σ-Algebra enthält X, ist abgeschlossen unter Komplementbildung und abzählbaren Vereinigungen. μ ist nichtnegativ, μ(∅)=0 und σ-Additivität bedeutet, dass die Summe über abzählbare Mengen μ der Vereinigung ergibt.

Eine Funktion f: X → ℝ ist messbar, wenn die Urbilder f^{-1}(O) für alle offenen Mengen O in ℝ in Σ liegen. Die äußere Maße und die Carathéodory-Definition ermöglichen den Bau der Maßstruktur, insbesondere das Lebesgue-Maß. Auf den reellen Zahlen unterscheidet man das Borel-Maß, definiert auf der Borel-Sigma-Algebra, und das Lebesgue-Maß, das zusätzlich alle Nullmengen berücksichtigt. Die Lebesgue-Integration erweitert die Riemann-Integration und erlaubt die Integration größerer Funktionsklassen.

Zu den grundlegenden Sätzen der Maßtheorie gehören das Monotone Convergence Theorem, das Dominated Convergence Theorem, der Fubini- bzw. Tonelli-Satz sowie Hölder- und Minkowski-Ungleichungen. Aus der Maßtheorie ergeben sich Lp-Räume der messbaren Funktionen; zwei Funktionen gelten als gleich fast überall. Maßtheorie findet Anwendungen in Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik, Geometrie, Physik und Signalverarbeitung.

Historisch entwickelte sich Maßtheorie aus Arbeiten von Georg Cantor, Henri Lebesgue und Harald Carathéodory im späten 19. und frühen 20. Jahrhundert; sie bildet heute die Grundlage der modernen Analysis und der Wahrscheinlichkeitstheorie.

---