LpRäume

Lp-Räume, auch Lp-Spaces genannt, sind Funktionalräume, die aus messbaren Funktionen auf einem Maßraum bestehen, deren p-te Potenz integrierbar ist. Gegeben ein Maßraum (X, Σ, μ) und 1 ≤ p < ∞, definiert man Lp(X, μ) als die Menge aller messbaren Funktionen f: X → R bzw. C mit ∫ |f|^p dμ < ∞. Die Norm wird gesetzt als ∥f∥p = (∫ |f|^p dμ)^(1/p). Für p = ∞ definiert man L∞(X, μ) als die Menge der wesentlich beschränkten Funktionen mit der Norm ∥f∥∞ = ess sup |f|.

Besonderheiten: Für p = 2 wird L2(X, μ) mit dem Skalarprodukt ⟨f,g⟩ = ∫ f g dμ zu einem Hilberaum. L1 entspricht den absolut integrierbaren Funktionen, L∞ den essenziell beschränkten Funktionen.

Eigenschaften: Lp ist ein Banachraum. Für 1 ≤ p < ∞ gilt: Der Dualraum von Lp ist isometrisch äquivalent zu Lq, wobei 1/p + 1/q = 1. Außerdem ist Lp reflexiv, wenn 1 < p < ∞. Inklusionen hängen von der Größe des Maßraums ab: Falls μ(X) < ∞ gilt Lq ⊂ Lp für q > p, mit einer Normschätzung ∥f∥p ≤ μ(X)^(1/p-1/q) ∥f∥q. Lp ist separabel, sofern 1 ≤ p < ∞ und der Maßraum σ-endlich ist; L∞ ist im Allgemeinen nicht separabel.

Anwendungen: Lp-Räume spielen eine zentrale Rolle in der Fourieranalyse, Wahrscheinlichkeitstheorie, Funktionalanalysis, PDEs und Signalverarbeitung. Sie dienen als Standardbeispiele für Banachräume und ermöglichen zentrale Konzepte wie Hölder- und Minkowski-Ungleichungen.

Historischer Hinweis: Der Begriff stammt aus der Lebesgue-Integration; Lp-Räume gehen auf die Entwicklung der Lp-Integrale zurück und werden häufig mit Lebesgue-Räumen assoziiert.