Limietpunten

Limietpunten (ook accumulatiepunten) van een verzameling A in een topologische ruimte X zijn de punten x in X waarvoor elke open buurt van x ten minste één punt van A bevat dat verschillend is van x. Met andere woorden, geen enkel omliggend rondpunt kan x uitsluiten van A terwijl er toch altijd een ander punt uit A nabij is.

Een equivalente formulering is: er bestaat een rij van elementen y_n uit A \ {x} die convergeert naar x. Dit geeft een praktische manier om limietpunten te herkennen via convergentie van getallenreeksen.

De verzameling van alle limietpunten van A noemen we de afgeleide verzameling A'. De sluiting van A is cl(A) = A ∪ A'. Een verzameling is gesloten als zij alle limietpunten bevat, dus A' ⊆ A. Als A een open of gesloten verzameling is, houdt men vaak onderscheid tussen wat wel en niet als limietpunt kan dienen.

Voorbeelden: A = {1/n | n ∈ N} heeft A' = {0}, en de sluiting cl(A) = A ∪ {0}. De verzameling van rationale getallen Q is dicht in R, dus Q' = R. De verzameling Z heeft geen limietpunten in R, dus Z' = ∅. Het open interval (0, ∞) heeft als limietpunten het gesloten interval [0, ∞).

Toepassingen en context: limietpunten vormen een kernbegrip in analyse en topologie. Ze helpen bij karakterisering van dichtheid en geslotenheid, bij definiëren van continuïteit via convergentie, en bij beschrijven van closures van verzamelingen en convergentieproblemen in verschillende ruimtes.