limietpunt

Limietpunt is een begrip uit de analyse en de topologie. Gegeven een verzameling S in een ruimte X, is een punt x een limietpunt van S als elke open buren van x tenminste één punt van S bevat dat verschillend is van x. In een metrische ruimte wordt dit meestal gezegd met open ballen: voor elke straal r > 0 geldt B(x, r) ∩ (S \ {x}) ≠ ∅.

De verzameling van alle limietpunten van S heet de afgeleide verzameling S'. Een punt x is een limietpunt van S precies wanneer x behoort tot cl(S \ {x}) (de afdruk van S zonder het punt zelf). De verzameling S' is altijd gesloten. De relatie met de afsluiting is cl(S) = S ∪ S': de afsluiting bestaat uit de punten van S samen met alle limietpunten.

Een punt a ∈ S kan wel of niet een limietpunt van S zijn. Is er een straal r > 0 zodat B(a, r) ∩ S = {a}, dan is a geen limietpunt en spreekt men van een geïsoleerd punt.

In eerste telbare ruimten (waaronder alle metrische ruimten) geldt: x is een limietpunt van S iff er een rij (s_n) in S \ {x} bestaat met s_n → x. Dit geeft praktische criteria voor limietpunten via convergerende reeksen.

Voorbeelden: in R met de gebruikelijke metriek heeft A = {1/n : n ∈ N} het limietpunt 0, en A' = {0}. De verzameling Q van rationale getallen heeft als limietpuntverzameling heel R, omdat elke echte traag als limietpunt van Q kan voorkomen.

Limietpunten spelen een belangrijke rol bij afsluiting, grenspunten en bij convergentiegedrag van verzamelingen in analyse en topologie.