Integrabiliteit

Integrabiliteit is een wiskundig begrip met verschillende betekenissen, afhankelijk van de context. In de analyse gaat het om de vraag of een functie kan worden geëvalueerd met een integraal over een domein. Een functie op een gesloten interval [a,b] is Riemann-integreerbaar als zij begrensd is en de verzameling discontinuiteiten van maat nul heeft. De Lebesgue-definitie breidt dit uit: een functie f is Lebesgue-integreerbaar als de integraal van de absolute waarde ∫ |f| dμ eindigt; daarmee zijn ook functies die niet Riemann-integreerbaar zijn soms wel integreerbaar. Voor een eindige meetruimte geldt dat elke Riemann-integreerbare functie Lebesgue-integreerbaar is.

In de theoretische mechanica verwijst integrabiliteit naar Liouville-integrabiliteit. Een systeem met n vrijheidsgraden is integraal als er n onafhankelijke integrals van beweging bestaan die onderling in involutie zijn (de Poisson-brackets met elkaar zijn nul). Als dit zo is, kan het systeem doorgaans worden opgelost door quadratuur, en bestaan er actie- en hoekvariabelen die de evolutie beschrijven.

Ook in de numerieke analyse speelt integratie een centrale rol: men benadert integralen met methoden zoals de trapeziumregel, Simpsonregel en Gauss-quadratuur, waarbij men de gemaakte fout kan controleren en beperken.

Samengevat verwijst integrabiliteit naar de mogelijkheid om een integraal te bepalen of een systeem exact op te lossen, afhankelijk van de tak van de wiskunde die wordt toegepast.