Hoekoplossingen

Een hoekoplossing (hoekoplossingen in meervoud) is in wiskundige optimalisatie een optisch maximale of minimale oplossing die op de grens van de haalbare Set ligt. Dat betekent dat minstens één besluitvariabele aan een ondergrens is gebonden, vaak nul, waardoor de oplossing zich in een “hoek” van het toegestane domein bevindt.

Hoekoplossingen ontstaan meestal door restricties op de keuzes, zoals budgetbeperkingen of niet-negativiteitsrestricties. Als een probleem bijvoorbeeld twee goederen betreft met x1 en x2 en de voorwaarden x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 en een budgetrestrictie p1 x1 + p2 x2 ≤ m, kan de optimale keuze zich op de rand bevinden waarbij een van de goederen helemaal niet wordt aangeschaft (x1 = 0 of x2 = 0). Ook in gebonden of niet-convexe probleeminstellingen kunnen hoekoplossingen voorkomen.

Identificatie gebeurt vaak via de clausules van KKT (Kuhn-Tucker-condities) of door simpelweg te controleren of de optimale oplossing aan alle randvoorwaarden voldoet. Bij een hoekoplossing dragen de “actieve” niet-negativiteitscondities bij aan de opheffing van mogelijke interiorde oplossingen.

Voorbeelden: bij een consument die twee goederen kan kopen met budget en prijzen p1 en p2, en met lineaire utiliteit U = a x1 + b x2, kan de optimale combinatie zich in een hoek bevinden als a/p1 > b/p2, waardoor alle middelen in goed 1 worden gestoken (x1 = m/p1, x2 = 0). In dergelijke gevallen geldt vaak dat de interioroplossing onmogelijk is of minder gunstig uitpakt.

Het begrip onderscheidt hoekoplossingen van interioroplossingen, waarbij alle variabelen strikt positief blijven en alle vergelijkingen in de optimale set niet-bindend zijn.