Geometrieveränderungen

Geometrieveränderungen bezeichnen Veränderungen der Geometrie von Objekten, etwa deren Form, Größe oder Lage. In Mathematik, Grafik, Ingenieurwesen und verwandten Feldern beschreibt man sie durch Transformationen oder Verformungen. Grundsätzlich lässt sich unterscheiden zwischen rigiden Veränderungen, die Abstände und Winkel unverändert lassen (Translation, Rotation, Spiegelung), und nicht-rigiden Verformungen, bei denen Form, Größenverhältnisse oder Abstände sich ändern.

Zu den klassischen Transformationen gehören affine Transformationen, die Parallelen erhalten und Geraden in Geraden abbilden; projektive Transformationen, die Perspektivenveränderungen modellieren; Skalierung und Rotation als spezielle Fälle. Nichtlineare Deformationen umfassen Verformungen wie Biegen, Dehnen oder Verzerren, die typischerweise in Grafik, Bildverarbeitung oder Materialwissenschaft auftreten. In der Differentialgeometrie kann man Deformationen durch Größen wie den Deformationsgradienten charakterisieren und daraus resultierende Dehnungstensoren ableiten, die lokale Änderungen der Geometrie beschreiben.

Anwendungen finden sich in der Computergrafik (Animation, Morphen), im CAD und in der Fertigung (Design-Varianten, Toleranzen), in der Bildverarbeitung (Bildverzerrung), sowie in der Geodäsie und der Materialwissenschaft (Dehnung, Stress). Grundsätzlich bleibt bei einer Geometrieveränderung zu unterscheiden, ob Relationen wie Topologie betroffen sind; bei rein kontinuierlichen Deformationen ohne Abreißen oder Zusammenkleben spricht man von einer topologisch unveränderten Form. Geometrieveränderungen sind damit zentrale Konzepte in Theorie und Praxis der Geometrie.