Geometrieveränderung

Geometrieveränderung bezeichnet in der Mathematik und in verwandten Bereichen die Veränderung der Geometrie eines Objekts oder einer Struktur im Raum. Sie umfasst Veränderungen von Form, Größe, Orientierung oder Lage und wird häufig durch eine Abbildung des Raums beschrieben, die Punkte des Objekts auf neue Positionen oder neue Formen abbildet.

Man unterscheidet grob lineare und nichtlineare Geometrieveränderungen. Lineare Transformationsarten umfassen Translationen, Rotationen, Skalierungen und allgemein affine Transformationen, die Geraden auf Geraden abbilden und Strukturen in Größenverhältnissen erhalten. Nichtlineare Veränderungen, wie Deformationen oder Verzerrungen, können Formen komplex verändern, ohne notwendigerweise die ursprüngliche Struktur beizubehalten. Manche Transformationen erhalten zusätzlich topologische Eigenschaften (Homöomorphie), andere verändern die Topologie, etwa durch das Öffnen oder Schließen von Löchern oder das Zusammenführen von Komponenten.

Anwendungsgebiete finden sich in CAD, Computergrafik, Animation, Geoinformationssystemen, Materialwissenschaften und Physik. Geometrieveränderungen ermöglichen Modellierung von Bewegungen, Verformungen von Materialien, Morphing zwischen Formen sowie das Anpassen von Objekten an neue Rahmenbedingungen.

Aus mathematischer Sicht spielen Geometrieveränderungen eine zentrale Rolle in der Differentialgeometrie und der Deformationstheorie: Sie werden durch Funktionen oder Diffeomorphismen beschrieben, Metrik und Krümmung können sich ändern, und Isotopie oder Homotopie geben Auskunft über die Topologie während der Veränderung.