Deformationsgradienten

Deformationsgradienten, aangeduid met F, is een tweede-orde tensor die de lokale verhouding beschrijft tussen een differential element in het referentiekader X en het huidige element in de ruimtelijke configuratie x. Als x = χ(X,t) de verplaatsingfunctie is, geldt dx = F dX en F = ∂χ/∂X. F koppelt zo elementen in het referentiekader aan elementen in de huidige configuratie en bevat zowel rek als rotatie.

De determinant J = det F geeft de lokale volumeverandering aan. F is invertibel zolang er geen scheuring optreedt en heeft meestal J > 0 in fysische processen. F kan in de tijd veranderen; het volgt de evolutie D F / D t = L F, waarbij L = ∇v de velocity gradient is en v het veld van snelheid.

Belangrijke gerelateerde tensoren zijn de Right Cauchy-Green tensor C = FᵀF en de Left Cauchy-Green tensor B = F Fᵀ. De polar-decompositie van F luidt F = R U = V R, waarin R een rotatie is en U en V respectievelijke rechter- en linker stretch-tensors zijn. Deze decompositie scheidt rotatie van rek.

Strainmaat wordt vaak gegeven door de Groenewoud-Green-Lagrange strain E = 1/2 (FᵀF − I). In de kleine-strainlimit reduceert dit naar ε ≈ sym(∇u). In nonlineariteit is F de fundamentele kinematische variabele en dient zij bij constitutieve modellen en bij de bepaling van strain energy density W(F).

Toepassingen omvatten niet-lineaire elasticiteit, plastische deformatie en numerieke simulaties zoals de eindige-elementenmethode, waarbij F de basis vormt voor het berekenen van spanningen, energiedensiteiten en materiaaleigenschappen.