Gefactorieerd

Gefactorieerd is het proces waarbij een wiskundige uitdrukking wordt geschreven als een product van factoren. Dit begrip komt voor in verschillende contexten, met als belangrijkste twee interpretaties: de factorisatie van gehele getallen in priemfactoren en de factorisatie van polynomen in factoren met lagere graad.

Bij de factorisatie van gehele getallen heeft elke positieve, niet-nul integer een unieke factorisatie in priemfactoren. Dit is het fundament van veel wiskundige en cryptografische toepassingen. Methoden om getallen te factoriseren variëren van eenvoudige trial division en de Eratosthenes-scheiding tot gevorderde algoritmen zoals Pollards’ rho of elliptische krommen. Factorisatie is essentieel bij het vereenvoudigen van breuken, het oplossen van Diophantische vergelijkingen en bij cryptografische systemen zoals RSA, waarvan de veiligheid berust op de moeilijkheid van het factoriseren van grote samengestelde getallen.

Bij de factorisatie van polynomen gaat het om het schrijven van een polynoom als een products van polynomen met lagere graad, meestal met coefficients uit een bepaald veld of ring. Over de getallen kan men spreken van factorisatie in rationele of gehele coëfficiënten, terwijl de algemene ideeën samenhangen met algebraïsche factoren. Methoden omvatten de stelling van de rationale wortel, factorisatie door groepering, het vinden van gemeenschappelijke factoren en meer geavanceerde algoritmen zoals de gcd-methoden en Cantor-Zassenhaus voor polynomen boven velden.

Voorbeelden: 60 = 2^2 × 3 × 5; x^2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Een algemeen doel is het vereenvoudigen van uitdrukkingen en het oplossen van vergelijkingen door te werken met factoren. Gefactorieerd zijn levert vaak inzicht in structuur en oplossingen van wiskundige problemen.