GaußProzessen

Gaußprozesse sind eine Familie stochastischer Prozesse, die durch eine indexierte Menge von Zufallsgrößen Xt beschrieben werden, wobei für jedes endliche Teilset t1, …, tn der Vektor (X t1 , …, X tn ) eine multivariate Normalverteilung besitzt. Damit sind Gaußprozesse vollständig durch zwei Funktionen festgelegt: die Mittelwertfunktion m(t) = E[Xt] und die Kovarianzfunktion k(s,t) = Cov(Xs, Xt). Einzelne Zufallsvariablen Xt sind Normalverteilungen mit Erwartungswert m(t).

Wichtige Eigenschaften sind: Alle endlichen Verteilungen des Prozesses sind Mehrdimensional-Normalverteilungen. Stationäre Gaußprozesse weisen eine zeitinvariante Statistik auf, wobei der Erwartungswert konstant und die Kovarianzfunktion nur vom Abstand s − t abhängt. Ein bekanntes Beispiel ist der Brown’sche Bewegungsprozess (Wiener-Prozess) mit m(t) = 0 und Kovarianz k(s,t) = min(s,t). In der Praxis wird oft eine Familie von Kovarianzfunktionen gewählt, die das Glätten oder die Abhängigkeit über den Index steuern.

Kovarianzfunktionen, auch Kernel genannt, bestimmen die Eigenschaften der Probenverläufe. Gängige Kernel sind der squared exponential (RBF), Matérn-Kernel und rational quadratic. Je nach Kernel können Probenpfade stetig oder sogar differenzierbar sein.

Anwendungen finden Gaußprozesse vor allem in der Statistik und im maschinellen Lernen. Als priore Funktionen in der Gaussian-Process-Regression (GPR) ermöglichen sie eine nichtparametrische Regression mit quantifizierter Unsicherheit. In der räumlichen Statistik (Kriging) und in der Zeitreiheninterpolation dienen Gaußprozesse der flexiblen Modellierung von Abhängigkeiten in Daten.