Kovarianzfunktionen

Eine Kovarianzfunktion beschreibt die Abhängigkeit zweier Zufallsvariablen oder Zufallsprozesse an verschiedenen Stellen. Formal wird sie als Cov(X(s), X(t)) definiert, wobei X eine Zufallsgröße oder ein Zufallsprozess mit Erwartungswert E[X] ist. Die Kovarianz misst, wie stark Abweichungen eines Werts von seinem Mittelwert mit Abweichungen eines anderen Werts zusammenhängen.

Bei stationären Prozessen hängt die Kovarianz nur von der Verschiebung (dem Lag) ab. Die Autokovarianzfunktion Gamma(h) ist dann Gamma(h) = Cov(X(t), X(t+h)) und erfüllt Gamma(-h) = Gamma(h) sowie Gamma(0) = Var(X(t)). Für zwei Prozesse X und Y heißt die Kovarianzfunktion Cross-Kovarianzfunktion Cov(X(s), Y(t)) bzw. Cross-Kovarianz.

Wichtige Eigenschaften: Eine Kovarianzfunktion muss positiv semidefinit sein, d. h. für jede endliche Menge von Zeitpunkten t1,...,tn entsteht aus Gamma eine n×n-Matrix mit Gamma(ti, tj) als Einträgen, die semidefinit positiv ist. Gamma(h) ist eine zulässige Autokovarianzfunktion oft durch Gamma(h) → 0 für |h| → ∞ und Gamma(0) = Var(X) begrenzt.

Beispiele: Für weißes Rauschen mit Varianz σ^2 ist Gamma(h) = σ^2, wenn h = 0, und 0 sonst. Ein AR(1)-Prozess X_t = a X_{t-1} + ε_t (|a|<1) besitzt Gamma(h) proportional zu a^{|h|}.

Zusammenhang mit Spektraltheorie: Die Spektraldichte S(f) eines Prozesses ist die Fourier-Transformation der Kovarianzfunktion. Damit liefert Gamma die Basis für Modelle, Schätzungen und Vorhersagen in Zeitreihenanalyse, Gaussian-Prozessen und räumlicher Statistik.