Spektraltheorie

Die Spektraltheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit dem Spektrum linearer Operatoren auf Hilbert- oder Banachräumen befasst. Das Spektrum σ(A) eines Operators A umfasst jene komplexen Zahlen λ, für die A − λI nicht invertierbar ist. Man unterscheidet das Punkt- bzw. Eigenwertspektrum, das kontinuierliche Spektrum und das residuelle Spektrum. Bei selbstadjungierten oder normalen Operatoren liefert die Spektraltheorie besonders klare Strukturresultate; für derartige Operatoren lassen sich viele Eigenschaften des Operators über sein Spektrum verstehen.

Der zentrale Bestandteil ist der Spektralsatz. Für einen selbstadjungierten Operator A in einem separablen Hilbert-Raum existiert eine eindeutige Spektralmaß E, sodass A als Integraldarstellung A = ∫ λ dE(λ) beschrieben wird. Aus diesem Satz folgt der Funktionskalkül: Für jede Borel-Funktion f gilt f(A) = ∫ f(λ) dE(λ). Dadurch lassen sich Funktionen von Operatoren definieren, etwa die Exponentialfunktion zur Beschreibung von Zeitentwicklungen in der Quantenmechanik oder der Lösung von Evolution- und Differentialgleichungssystemen.

Typische Beispiele und Begriffe sind Finite-dimensionalen Fälle, in denen der Operator durch Diagonalisierung physikalisch greifbar wird, sowie unendlichdimensionale Räume wie L²(R) oder L²(I), in denen der Laplacian bzw. Schrödingeroperatoren auftreten. Hier entspricht das Spektrum oft einer Mischung aus diskretem und kontinuierlichem Teil; der Fourier-Transformationsweg dient als zentrale Methode zur Spektraldiagonalisierung.

Historisch geht die Spektraltheorie auf Weyl, von Neumann und andere Pioniere zurück und bildet eine Brücke zwischen Analysis, Funktional- und Quantenmechanik. Anwendungen finden sich in der Lösung von Differentialgleichungen, der Quantenmechanik, Signal- und Bildverarbeitung sowie in der mathematischen Physik.

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