Banachräumen

Ein Banachraum ist ein normierter Vektorraum (V, ||·||) über den Feldern R oder C, der bezüglich der durch die Norm bestimmten Metrik d(x,y)=||x−y|| vollständig ist. Das bedeutet, dass jede Cauchyfolge in V konvergiert und ihr Grenzwert in V liegt.

Typische Beispiele sind die L^p-Räume (1 ≤ p ≤ ∞), der Raum ℓ^p der p-summierbaren Folgen, ℓ^∞, der Raum c0 der gegen null konvergierenden Folgen sowie der Raum C(K) der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge K mit der Supremumsnorm. In endlicher Dimension ist jeder normierte Raum Banach, da alle Normen äquivalent und jeder endliche Raum vollständig ist.

Banachräume sind zentral für die Funktionalanalysis. Abgeschlossene Unterräume bleiben Banach. Der Dualraum X* umfasst alle stetigen linearen Funktionale; der Raum der beschränkten Operatoren L(X,Y) ist Banach, wenn Y Banach ist. Zu den wichtigsten Sätzen gehören der Hahn-Banach-Satz, das Uniform Boundedness Principle (Banach-Steinhaus), der Offen Mapping-Satz und der Satz vom abgeschlossenen Graphen.

Der Begriff Banachraum geht auf Stefan Banach zurück, der die Theorie der Funktionalanalysis im 20. Jahrhundert maßgeblich prägte. Banachräume finden breite Anwendung in Analysis, Approximationstheorie, PDEs und Optimierung.