Gaussverteilungen

Gaussverteilungen, auch Normalverteilungen genannt, bilden eine Familie stetiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die durch eine glockenförmige Kurve gekennzeichnet sind. Sie treten häufig auf bei Messfehlern, natürlichen Größen und als Summe vieler unabhängiger Einflussgrößen, wie der zentrale Grenzwertsatz erklärt.

Für eine univariate Gaussverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ > 0 lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x-μ)² / (2σ²)). Die Verteilung ist eindeutig durch μ und σ bestimmt. Die Standardnormalverteilung ist der Spezialfall μ = 0, σ = 1; ihre Dichte ist f(z) = (1/√(2π)) exp(-z²/2). Jedes x lässt sich durch Standardisierung z = (x-μ)/σ auf die Standardform beziehen, und die Verteilungsfunktion Φ(z) = P(Z ≤ z) wird durch Φ(z) = 0.5 [1 + erf(z/√2)] beschrieben, wobei erf die Fehlerfunktion ist. Φ lässt sich nicht in elementarer Form ausdrücken.

Eigenschaften und Anwendungen: Gaussverteilungen sind symmetrisch, unimodal und haben E[X] = μ sowie Var(X) = σ². Die Schiefe ist 0, die (Exzess-)Kurtosis beträgt 0 (Kurtosis 3). Die exponenzielle Abnahme der Wahrscheinlichkeiten in den Tails sowie die zentrale Rolle in Fehlerentstehung machen sie zu einem Standardmodell in Statistik, Physik und Naturwissenschaften. Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum viele Messgrößen als normalverteilt erscheinen.

Mehrdimensionale Gaussverteilungen ( multivariate Normalverteilung ) beschreiben Zufallsvektoren mit Mittelwertvektor μ und Kovarianzmatrix Σ; die Wahrscheinlichkeitsdichte hat die Form f(x) = (2π)^{-n/2} det(Σ)^{-1/2} exp(-0.5 (x-μ)ᵀ Σ^{-1} (x-μ)). Parameterenschätzung erfolgt oft durch Maximum-Likelihood oder Methode der Momente.