Gaussverteilung

Die Gaussverteilung, auch Normalverteilung genannt, ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung mit glockenförmiger, symmetrischer Kurve. Sie tritt häufig als Modell für Messfehler oder natürliche Phänomene auf und lässt sich durch den Zentralen Grenzwertsatz aus vielen kleinen, unabhängigen Störungen ableiten.

Die Dichte lautet f(x; μ, σ) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x-μ)^2 / (2σ^2)). Dabei ist μ der Erwartungswert und σ > 0 die Standardabweichung. Die Verteilung mit μ = 0 und σ = 1 wird als Standardnormalverteilung bezeichnet; ihre Verteilungsfunktion heißt Φ(z).

Eigenschaften: Die Verteilung ist symmetrisch um μ, hat Erwartungswert E[X] = μ und Varianz Var(X) = σ^2. Skewness = 0, Excess-Kurtosis = 0. Die Summe unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normal, und lineare Transformationen liefern ebenfalls Normalverteilungen.

Anwendungen: In Statistik und Wissenschaft dient sie zur Schätzung, Hypothesentests, Konfidenzintervalle und zur Modellierung von Streuungen in Residuen. Parameter schätzt man typischerweise mit Maximum-Likelihood; μ wird oft durch den Stichprobenmittelwert und σ durch die Stichprobenstandardabweichung approximiert.

Einschränkungen: Nicht alle Datensätze folgen einer Normalverteilung; manche Verteilungen sind schief oder haben schwere Tails. In solchen Fällen sind Transformationen oder alternative Verteilungen zu prüfen, und Modellprüfungen (z. B. Q-Q-Plots) sind sinnvoll.