Gausskurven

Gausskurven, auch als Normalverteilung bezeichnet, beschreiben eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die oft als Glockenkurve erscheint. Sie tritt auf, wenn viele unabhängige, additive Einflussgrößen zufällig zusammenwirken, wie Messfehler oder natürliche Phänomene. Die Gausskurve dient daher als Standardmodell für Verteilungen, bei denen Werte um einen Mittelwert μ streuen und extreme Abweichungen seltener werden.

Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer Normalverteilung mit Mittelwert μ und Standardabweichung σ ist gegeben durch

f(x|μ, σ) = (1/(σ√(2π))) exp(- (x-μ)^2 / (2σ^2)).

Die Fläche unter der Kurve ergibt 1. μ bestimmt die Lage der Kurve, σ steuert ihre Breite: Je größer σ, desto flacher und breiter ist die Kurve. Die Verteilung ist symmetrisch um μ, und die Punkte μ ± σ markieren die innere Wendestellen der Kurve.

Eine Standardnormalverteilung liegt vor, wenn μ = 0 und σ = 1. Dann heißen Zufallsgrößen Z = (X-μ)/σ normalverteilt mit Z ~ N(0,1). Die kumulative Verteilungsfunktion Φ(x) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass X ≤ x.

Bedeutung und Anwendungen: Die Normalverteilung ist in der Statistik zentral, da viele Schätzungen und Testverfahren unter der Annahme normalverteilter Fehler gelten. Sie kommt in Messfehleranalysen, Regressionsresiduen, Qualitätskontrolle und Signalverarbeitung vor. In mehreren Dimensionen spricht man von multivariater Normalverteilung.

Historisch tragen Gauss’ Arbeiten zur Fehlerrechnung und zur Entwicklung der Methode der kleinsten Quadrate maßgeblich zur Benennung und Akzeptanz der Gausskurven bei; der Begriff Gaussian verweist auf Carl Friedrich Gauss.