normalverteilter

Normalverteilter (englisch normally distributed variable) bezeichnet in der Statistik eine Zufallsvariable X, deren Verteilung der Normalverteilung N(μ, σ^2) folgt. Die Dichte lautet f(x) = 1/(σ√(2π)) exp(-(x-μ)^2/(2σ^2)). μ ist der Erwartungswert, σ^2 die Varianz.

Wesentliche Eigenschaften eines Normalverteilten sind eine symmetrische, unimodale Glockenkurve um μ, unbeschränkter Wertebereich und extrem schnelle Abnahme der Wahrscheinlichkeiten in den Randbereichen. Die Verteilung ist durch zwei Parameter vollständig bestimmt: μ bestimmt die Lage der Verteilung, σ > 0 deren Breite. Die Standardnormalverteilung N(0,1) dient als Referenzverteilung; standardisiert wird X durch Z = (X-μ)/σ, sodass Z eine Standardnormalverteilung hat.

Eine zentrale Folge der Normalverteiltheit ist die Additivität unter Unabhängigkeit: Die Summe unabhängiger normalverteilter Variablen ist selbst normalverteilt. Zudem finden sich in der Praxis häufig Normalverteilungen als Modell für Messfehler, natürliche Schwankungen oder zentrale Limit-Theorie-Grundlagen, die besagen, dass Summe vieler unabhängiger, ähnlicher Einflüsse näherungsweise normalverteilt wird.

An Anwendungen finden sich Hypothesentests (z-Tests), Konfidenzintervalle und lineare Modelle, wo Residuen oft als annähernd normalverteilt angenommen werden. Einschränkungen ergeben sich, wenn Daten asymmetrisch, begrenzt oder stark schief sind; dann kann eine andere Verteilung geeigneter sein. Verwandte Begriffe sind Normalverteilung, Standardnormalverteilung, Z-Wert sowie verwandte Verteilungen wie die t-Verteilung.