Funktionalgleichungen

Funktionalgleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannten Funktionen sind und die Gleichung eine Beziehung zwischen Funktionswerten an verschiedenen Stellen herstellt. Sie treten in vielen Bereichen der Mathematik auf und dienen der Charakterisierung von Eigenschaften einer Funktion oder des Verhaltens von Systemen.

Typische Formulierungen betreffen Funktionen f: D→E, wobei D oft eine Teilmenge der reellen Zahlen, eine Gruppe oder ein Vektorraum ist, und die Gleichung für alle zulässigen Argumente gilt. Ein bekanntes Beispiel ist die Cauchy-Gleichung f(x+y)=f(x)+f(y). Ohne weitere Annahmen existieren viele nichtlineare additive Abbildungen von R nach R; unter Regularität wie Stetigkeit an einer Stelle, Stetigkeit im Intervall, Messbarkeit oder Beschränktheit auf einem Intervall folgt jedoch oft eine lineare Form f(x)=cx.

Weitere klassische Beispiele sind die Jensen-Gleichung f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2, deren Lösungen unter üblicher Regularität affinen Funktionen entsprechen, sowie die D'Alembert-Gleichung f(x+y)+f(x−y)=2 f(x) f(y), deren plausible Lösungen in geeigneten Randfällen cos(ax) oder cosh(ax) sind. Es gibt zahlreiche andere Typen, die lineare, exponentielle oder periodische Verhaltensweisen charakterisieren.

Lösungsansätze umfassen das Erkennen von Funktionsinvarianten, das Reduzieren auf bekannte Gleichungen, sowie das Nutzen von Regularitätseigenschaften, um von allgemein möglichen Lösungen auf eindeutige Formen zu schließen. Häufige Fragestellungen betreffen Existenz, Eindeutigkeit und Typ der Lösungen unter zusätzlichen Bedingungen.

Historisch gehört die Funktionalgleichungstheorie zu den klassischen Gebieten der Analysis und hat sich durch Arbeiten von Cauchy, Jensen und vielen weiteren Forschern entwickelt. Heute ist sie ein zentraler Bestandteil der Theorie der Funktionalgleichungen, mit Anwendungen in der Analysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Informationstheorie und Numerik.