Dynamikmodelle

Dynamikmodelle sind Modelle, die die zeitliche Entwicklung eines Systems beschreiben. Sie fassen den aktuellen Zustand, mögliche Eingaben sowie oft Unsicherheiten oder Störungen in Gleichungen zusammen, die den nächsten Zustand des Systems determinieren oder stochastisch beschreiben. Ziel ist es, Ähnlichkeiten zwischen dem Modellverlauf und beobachteten Daten abzuschätzen, zu verstehen wie sich Systeme unter wechselnden Bedingungen verhalten und Vorhersagen zu ermöglichen.

Dynamikmodelle lassen sich nach mehreren Kriterien unterscheiden. Grundsätzlich gibt es deterministische Modelle, bei denen der nächste Zustand eindeutig durch die aktuelle Situation festgelegt ist, und stochastische Modelle, in denen Zufallskomponenten eine Rolle spielen. Zeitlich können Modelle kontinuierlich oder diskret formuliert sein: Kontinuierliche Modelle verwenden Differentialgleichungen (z. B. dx/dt = f(x,t,u)), diskrete Modelle verwenden Differenzengleichungen (z. B. x_{t+1} = g(x_t, u_t)). Häufig bilden Zustandsvektoren die wesentliche Größe, und Beobachtungen ergeben sich aus dem Zustand über Ausgabefunktionen. Linearität versus Nichtlinearität, sowie einfache lineare Zeitinvarianz oder komplexe nichtlineare Dynamik, sind weitere Unterscheidungen. Delayed- oder Stochastic-Elemente führen zu Verzögerungs- oder stochastischen Differential-/Untersuchungen.

Anwendungsgebiete reichen von Physik, Technik und Biologie bis zu Ökonomie und Umweltwissenschaften. Typische Beispiele sind mechanische Systeme, ökologische Populationsmodelle (z. B. logistische Gleichung), epidemische Modelle (SIR), Klimamodellierung und Regelungstechnik. Wichtige Schritte umfassen Modellformulierung, Parameterschätzung, Validierung, Kalibrierung und Vorhersage, oft unterstützt durch Datenassimilation und numerische Integrationsverfahren. Zu den Herausforderungen gehören Identifizierbarkeit, Sensitivität gegenüber Anfangsbedingungen und Modellfehler.