Differentiabiliteitseisen

Differentiabiliteitseisen verwijzen naar de voorwaarden die een functie moet voldoen om differentiabel te zijn. Differentieerbaarheid is een fundamenteel concept in de differentiële calculus en houdt in dat een functie in een bepaald punt een tangente heeft, wat betekent dat de functie daar continu en glad is.

Een van de belangrijkste eisen voor differentiabiliteit is dat de functie continu moet zijn in het punt waar de afgeleide wordt bepaald. Dit betekent dat er geen sprongen of knopen in de grafiek van de functie mogen zijn op dat punt. Als een functie niet continu is, kan ze ook niet differentiabel zijn.

Daarnaast moet de functie in het betreffende punt een duidelijke richting hebben, zonder scherpe hoeken of knopen. Dit wordt vaak geformuleerd als de limiet van de gemiddelde verandering (de secanthelling) gelijk moet zijn aan de limiet van de instantane verandering (de tangenthelling) wanneer het punt steeds dichter bij het gegeven punt komt.

Voor functies van meerdere variabelen zijn er extra eisen. Een functie van meerdere variabelen is differentiabel in een punt als ze daar lineair benaderbaar is. Dit betekent dat de functie in de buurt van dat punt kan worden benaderd door een lineaire benadering, zoals een vlak in het geval van twee variabelen. De partiële afgeleiden moeten bestaan en continu zijn in het punt, en de functie moet continu zijn.

Scherpe hoeken of knopen in een functie, zoals bij de functie |x| in x = 0, maken deze functie niet differentiabel op dat punt. Ook functies met oneindige hellingen, zoals √x bij x = 0, voldoen niet aan de eisen voor differentiabiliteit. Het begrip differentiabiliteit is essentieel voor het toepassen van de regels van differentiëren en voor het oplossen van problemen in de wiskunde, fysica en andere wetenschappen.