Combinatieregels

Combinatieregels verwijst naar de regels die bepalen hoeveel verschillende uitkomsten mogelijk zijn bij het kiezen en ordenen van objecten. De basis zijn de somregel en de vermenigvuldigingsregel. De somregel zegt dat als er twee alternatieven zijn die niet tegelijk kunnen plaatsvinden, het totaal aantal mogelijkheden de som is van de afzonderlijke aantallen. De vermenigvuldigingsregel zegt dat als er achtereenvolgende keuzes zijn, het totaal aantal mogelijkheden het product is van de aantallen bij elke stap.

Permutaties en combinaties zijn de twee belangrijkste constructies. Permutaties houden rekening met de volgorde. Zonder herhaling is het aantal permutaties van n objecten P(n) = n!, en met herhaling is het aantal mogelijkheden n^k voor k-posities. Combinaties tellen groepen waar de volgorde niet uitmaakt. Het aantal combinaties van n objecten genomen k tegelijk is C(n,k) = n!/(k!(n-k)!). Combinaties met herhaling (wanneer een object meerdere keren kan voorkomen) geeft C(n+k-1, k).

Andere verwante regels omvatten de formule voor het aantal k-permutaties zonder herhaling P(n,k) = n!/(n-k)!, en de binomiale stroming zoals het binomiaaltheorema: (x+y)^n = sum_{k=0}^n C(n,k) x^{n-k} y^k.

Toepassingen zijn wijd verspreid: kaarten, combinaties voor wachtwoorden en telling bij kansberekening. Voorbeeld: het aantal mogelijke 5-kaart pokerhanden is C(52,5).

Deze regels vormen een fundamenteel gereedschap in combinatoriek, als basis voor problemen in wiskunde, informatica en kansrekening.