Birkhoffnormalvorm

Birkhoffnormalvorm, ook wel de Birkhoff-normalvorm genoemd, is een methode uit de klassieke mechanica en de dynamische systemen om een Hamiltoniaans systeem nabij een elliptisch evenwicht aanzienlijk te vereenvoudigen. Het doel is een reeks van nabijheidsbewuste symplectische transformaties toe te passen waarmee de Hamiltoniaan zodanig kan worden herschreven dat niet-resonererende termen worden verwijderd, zodat de getransformeerde Hamiltoniaan tot een gegeven orde afhankelijk is van de acties (of amplitudevrije kwadraten van de oscillatoren) en nauwelijks van de hoekvariabelen.

Werking en idee: men start met een analytische Hamiltoniaan H(q,p) met een elliptisch lineair deel H2 dat wordt geschreven in termen van actie- en hoekvariabelen. Door een opeenvolgende, bijna identieke canonical transformaties wordt H(getransformeerd) zodanig gezuiverd dat de niet-resonererende homogene termen van hogere orde worden verwijderd via homologische vergelijkingen. De resonante termen, die niet kunnen worden verwijderd vanwege relatie tussen de frequenties (k · ω = 0 voor sommige gehele k), blijven in het normaal vorm. Het resulterende H_N bestaat uit een integrabele kern die functies van de acties bevat plus een restterm van hogere orde.

Toepassingen en beperkingen: de Birkhoffnormalvorm wordt veel gebruikt om de stabiliteit van equilibria en de lange-termijngedrag van systemen te begrijpen, en vormt een bouwsteen voor KAM-theorie en Nekhoroshev-stabiliteit. In het algemeen kan de normaliseerreeks divergeren; convergente normalvormen bestaan onder aanvullende non-degeneratie- en niet-resonant voorwaarden. Voor resonante systemen treden extra complicaties op en kunnen aanvullende technieken noodzakelijk zijn.

Relatie tot andere normalvormen: de Birkhoffnormalvorm is een specifieke toepassing van de Poincaré-Dulac-normalvorm voor Hamiltoniaanse systemen, waarbij de structuur van Hamiltoniaans voorwaarden behoudt en de voorafgaande stappen gericht zijn op het behoud van symplectische structuur.