Autovalores

En álgebra lineal, los autovalores (valores propios) de una matriz cuadrada A son los escalares λ para los cuales existe un vector no nulo v, llamado autovector, que satisface Av = λv. En ese caso, la acción de A sobre v es simplemente un escalado.

Para una matriz real o compleja A, los autovalores se obtienen resolviendo el polinomio característico det(A - λI) = 0. Sus raíces pueden ser reales o complejas (en general, para matrices reales, los autovalores pueden ser complejos conjugados). El conjunto de autovalores se conoce como el espectro de A.

La multiplicidad algebraica de un autovalor λ es su multiplicidad como raíz del polinomio característico, y la multiplicidad geométrica es la dimensión del espacio propio ker(A - λI). Una matriz es diagonalizable si existe una base de autovectores independientes; en ese caso A se puede escribir como A = PDP^{-1}, donde D es diagonal y sus entradas son los autovalores.

Si A es simétrica (o hermitiana en complejos), sus autovalores son reales y existe una base ortonormal de autovectores (teorema espectral). En matrices que no son diagonalizables, se recurre a la forma de Jordan y se introducen autovectores generalizados.

En computación numérica se utilizan métodos como la potencia para obtener el mayor autovalor, o el algoritmo QR para calcular todo el espectro. Las aplicaciones de los autovalores abarcan estabilidad de sistemas dinámicos, resolución de ecuaciones diferenciales, reducción de dimensionalidad (análisis de componentes principales), mecánica cuántica, vibraciones y gráficos por computadora.