Autoregressie

Autoregressie, in het kort een autoregressief model, is een statistisch model voor tijdreeksen waarin de huidige waarde wordt verklaard door een lineaire combinatie van eerdere waarden plus ruis. Het meest gebruikte autoregressieve model is AR(p), met orde p. In symbolen: X_t = c + φ_1 X_{t-1} + … + φ_p X_{t-p} + ε_t, waarbij ε_t witte ruis is met E[ε_t]=0 en Var(ε_t)=σ^2. Hiermee bevat X_t informatie uit het verleden van de reeks.

Een hoofdkenmerk is stationariteit. Voor een stabiel AR(p)-proces moeten alle wortels van de karakteristieke polynoom 1 - φ_1 z - φ_2 z^2 - … - φ_p z^p = 0 liggen buiten de eenheidscirkel (|z|>1). Indien dit niet het geval is, kan differencing of een combinatie met andere componenten nodig zijn. De parameters φ_i worden meestal geschat met maximale waarschijnlijkheid of de Yule-Walker-vergelijkingen; bij gaussiaanse ruis zijn OLS-schattingsregels toepasbaar.

Modelidentificatie en diagnostiek gebruiken de autocorrelatiefunctie (ACF) en de partiële autocorrelatiefunctie (PACF). De orde p wordt vaak gekozen met informatiecriteria zoals AIC of BIC. Na schatting dienen de residuen ruisachtig te zijn; tests zoals de Ljung-Box-test kunnen gebrek aan autocorrelatie aantonen. Voor niet-stationaire series kan differencing leiden tot een ARIMA-model, dat autoregressie combineert met integratie en mogelijk een MA-component bevat.

Toepassingen bevinden zich in economie, financiën, klimaat en engineering, waar tijdreeksen zoals prijzen, rentes of temperaturen voorspeld moeten worden. Een voordeel is de relatief eenvoudige interpretatie en berekening; nadelen zijn lineariteit, stationariteit-vereisten en beperkte prestaties bij niet-lineaire of sterk seizoensgebonden gegevens. Voor niet-stationaire of seizoensgevoelige series kunnen AR, MA en ARIMA-modellen alleen of in combinatie gebruikt worden.

---