zustandsgleichungen

Zustandsgleichungen sind die Gleichungen, die den zeitlichen Verlauf der Zustandsgrößen eines Systems beschreiben. Sie bilden das Kernbaustein eines Zustandsraummodells in der Systemtheorie, der Regelungstechnik und der Signalverarbeitung. Der Zustandsvektor x fasst relevante Größen zusammen, der Eingangsvektor u beschreibt äußere Stimuli und der Ausgang y die messbaren Größen des Systems.

Im kontinuierlichen Zeitmodell schreibt man die Zustandsgleichungen üblicherweise als dx/dt = f(x, u, t) mit der Ausgangsgleichung y = h(x, u, t). Dabei gilt x(t0) = x0 als Anfangszustand. In diskreter Zeit werden die Gleichungen zu x_{k+1} = f(x_k, u_k, k) und y_k = h(x_k, u_k, k). Diese Formulierungen ermöglichen eine systematische Modellierung dynamischer Prozesse.

Besonderheit: Für lineare zeitinvariante Systeme reduziert sich das Modell auf dx/dt = Ax + Bu, y = Cx + Du bzw. in der diskreten Zeit x_{k+1} = Ax_k + Bu_k, y_k = Cx_k + Du_k. Solche linearen Modelle erleichtern Analyse und Design, etwa durch Stabilitäts- und Stabilitätsgrenzen, Regelungs- und Beobachterschichten.

Anwendungen umfassen die Modellierung dynamischer Systeme, Simulation, Reglerentwurf (z. B. LQR, MPC) sowie Zustandsschätzung mittels Observers oder Kalman-Filtern. Wichtige Eigenschaften sind Stabilität, Reichweite von Kontroller- und Beobachtersystemen sowie deren Identifikation aus Messdaten.

Hinweis: Der Begriff Zustandsgleichung wird in der Physik auch für Gleichungen der Thermodynamik verwendet (Zustandsgleichung eines Stoffs), wobei der Kontext klar zwischen dynamischen Systemen und Thermodynamik unterscheiden werden sollte.