waarderingsdomeinen

Waarderingsdomeinen, ook valuation domains genoemd in het Engels, zijn een bijzondere klasse van inwendige domeinen in de algebra. Laat K een veld zijn en R een subring van K met 1. R is een waarderingsdomein als voor elk niet-nul element x van K geldt dat x ∈ R of x^{-1} ∈ R. Een equivalente beschrijving is dat R een lokaal domein is whose niet-nul-idealen lineair zijn geordend onder inclusie; de verzamelingen van idealen vormen dus een totale ordening.

Eigenschappen: een waarderingsdomein heeft één maximale ideaal m en alle niet-nulidealen zijn met elkaar te vergelijken qua inclusie. R is integraal gesloten en is een Prüfer domein. Elk eindig gegenereerd ideaal is inverterbaar. Als R Noetheriaans is, dan is R een discrete waarderingsring (DVR), wat betekent dat het maximale ideaal wordt gegenereerd door één element en de waardegroep z-integreert als een discrete rang.

Voorbeelden: k[[t]] is een DVR en fungeert als waarde-ring van de functieveldvariant k((t)). De ring van p-adische gehele getallen Z_p is eveneens een DVR met fractieveld Q_p. Niet-Noetheriaanse waarderingsdomeinen bestaan ook; ze kunnen rank-verschillende waarderingsgroepen hebben en leveren ideële structuren op die niet principal zijn.

Relaties en toepassingen: waarderingsdomeinen komen voor als waarde-rijen (places) van velden in algebraïsche geometrie en getaltheorie. Ze leveren inzicht in lokale eigenschappen van variëteiten en functies, en vormen een fundamenteel onderdeel van waarderingstheorie en torens van lokalen. De studie hangt samen met waarde-rijen, rang, en de structuur van de prisma-idealen in de domein.