vektorwertige

Vektorwertige bezeichnet in der Mathematik Funktionen, deren Werte in einem Vektorraum liegen. Typischerweise handelt es sich um Funktionen f: X -> V, wobei X eine Menge ist (häufig eine Teilmenge der reellen Zahlen) und V ein Vektorraum über einem Körper F (meistens R oder C). Wenn V gleich R^n ist, lässt sich f durch seine Komponenten f(t) = (f1(t), ..., fn(t)) darstellen.

Beispiele geben einen Eindruck von der Vielfalt: Eine Kurve im zweidimensionalen Raum r(t) = (x(t), y(t)) ist eine vektorwertige Funktion von t. Ebenso beschreibt eine Trajektorie im Raum r(t) = (x(t), y(t), z(t)) oder allgemein eine Zeitentwicklung in einem n-dimensionalen Raum eine vektorwertige Funktion.

Eigenschaften und Operationen: Vektorwertige Funktionen verhalten sich komponentenweise wie skalare Funktionen. Die Summe zweier vektorwertiger Funktionen f und g ist f + g = (f1 + g1, ..., fn + gn). Die Multiplikation mit einem Skalar a erfolgt ebenfalls komponentenweise. Ableitungen und Integrale werden entsprechend der Komponenten gebildet: f'(t) = (f1'(t), ..., fn'(t)) und ∫ f(t) dt ist der Vektor aus den Integralen der Komponenten. Auf V besteht oft eine Norm, mit der man Größenordnungen von f messen kann.

Anwendungen: In der Physik spiegelt eine vektorwertige Funktion Positions- oder Geschwindigkeitsvektoren wider. In der Informatik und Computergrafik dienen sie als Vektorfelder oder Signale; in der Analysis dienen sie der Formulierung von Systemen von Differentialgleichungen und mehrdimensionalen Funktionen.

Unterscheidung: Im Gegensatz zu skalarwertigen Funktionen, deren Werte Skalare sind, liefern vektorwertige Funktionen Vektoren als Werte. Dadurch ergeben sich oft Systeme von Gleichungen statt einzelner Gleichungen.