toestandruimtevorm

Toestandruimtevorm (state-space form) is een representatie van een dynamisch systeem waarin de evolutie wordt beschreven door een verzameling eerste orde differentiaal- of verschilvergelijkingen. In continu tijd wordt dit meestal geschreven als x'(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t) + Du(t), waarbij x ∈ R^n de toestandvector is, u ∈ R^m de ingang en y ∈ R^p de uitgang. In discrete tijd geldt x[k+1] = Ax[k] + Bu[k], y[k] = Cx[k] + Du[k]. De matrices A, B, C en D bepalen respectievelijk de interne dynamiek, de invloed van de ingangen, de weergave van de toestand op de uitgang en eventuele directe feedthrough.

De orde van het systeem komt overeen met de dimensie n van de toestandruimte. Een toestandruimtevorm biedt een compacte en uniforme manier om multi-input multi-output systemen te modelleren, en kan zowel lineaire als niet-lineaire systemen beschrijven (niet-lineaire vormen hebben algemene notaties x' = f(x,u), y = h(x,u)), waarbij lineaire tijdinvariante modellen de vaak gebruikte specialisatie zijn met x' = Ax + Bu, y = Cx + Du.

Belangrijke concepten zijn bestuurbaarheid en waarneembaarheid: een systeem is bestuurbaar als alle toestanden kunnen bereikt worden via de ingang, en waarneembaar als de toestand uit de uitvoer kan worden afgeleid. Deze eigenschappen zijn invariant onder veranderingen van de toestandruimte (toestandtransformaties). Systemen kunnen worden omgezet naar verschillende canonieke vormen, zoals de controllable of observable canonical form, die de structuur van A, B, C en D weerspiegelen. Voor tijdsdiscretisatie wordt vaak maatwerk toegepast, bijvoorbeeld via zero-order hold.

Toepassingen omvatten controllerontwerp (state feedback), het bouwen van observatoren (zoals de Luenberger-observer en Kalman-filter), en modelgebaseerde model predictive control. Modelleing met lineaire toestanden dienen als uitgangspunt voor analyse en ontwerp, terwijl linearisatie rond een bedrijfspunkt ook in niet-lineaire context handig blijft.