tijdsinhomogeen

Een tijdsinhomogeen stochastisch proces heeft overgangsverdelingen die expliciet afhangen van de absolute tijd t; de kans op een transitie kan dus verschillen naargelang het tijdstip. Bij tijdshomogene processen hangen de overgangsverdelingen juist af van het tijdsverschil t−s, waardoor het gedrag in de tijd stationair is. Tijdsinhomogeniteit ontstaat vaak door seizoensinvloeden, veranderende omgevingscondities of parameters die in de loop van de tijd veranderen.

In discrete tijd: P(X_{t+1}=j | X_t=i) kan afhangen van t. In continue tijd: de generator Q(t) is tijdsafhanke lijk, zodat de Kolmogorov-voorwaartse vergelijking ∂/∂t P_{ij}(t) = ∑_k P_{ik}(t) q_{kj}(t) geldt. Het ontbreken van tijdonafhankelijkheid betekent dat analytische oplossingen vaker lastiger zijn en andere oplossingsstrategieën nodig hebben.

In verschillende vakgebieden komen tijdsinhomogene modellen voor: bij partiële differentiaalvergelijkingen met tijdsafhankelijke coëfficiënten a_{ij}(t) of diffusiviteit D(t) spreken we van tijdsinhomogene PDE’s; bijvoorbeeld ∂u/∂t = ∇·(D(t) ∇u) + ... . In de praktijk worden tijdsinhomogeniteit en seizoensinvloeden vaak gemodelleerd om realistische dynamiek weer te geven.

Voorbeelden en toepassingen: in financiële wiskunde worden tijdsinhomogene modellen gebruikt, zoals het Hull–White-model waarbij parameters in de tijd kunnen worden afgestemd op de huidige rentecurve. In natuur- en materiaalkunde treedt tijdsinhomogeniteit op wanneer eigenschappen zoals diffusie of conductiviteit veranderen in de loop der tijd.