tijdshomogene

Tijdshomogeen is een term uit de waarschijnlijkheids- en stochastische processen die aangeeft dat de probabilistische structuur van het proces niet afhankelijk is van het absolute moment in de tijd. In een tijdshomogeen proces hangt de kans op toekomstige gebeurtenissen alleen af van de tijdsduur die verstrijkt, niet van het huidige tijdstip.

Voor een Markovproces betekent tijdshomogeniteit dat de overgangskenmerken alleen afhangen van de tijdsprong s, niet van t. In formulevorm: voor alle t ≥ 0, s ≥ 0 en toestanden i, j geldt P(X_{t+s} = j | X_t = i) = P(X_s = j | X_0 = i). In discrete tijd geldt dit als een constante overgangsmatrix P, zodat P(X_{n+1}=j | X_n=i) = P_{ij} voor alle n.

In continue tijd geldt tijdshomogeniteit wanneer de generator Q van het proces onafhankelijk is van tijd. Hierbij q_{ij} ≥ 0 voor i ≠ j en q_{ii} = -∑_{j≠i} q_{ij}. De transition probabilities P_{ij}(t) = P(X_t = j | X_0 = i) voldoen aan de Kolmogorov-vergelijkingen: d/dt P_{ij}(t) = ∑_k P_{ik}(t) q_{kj}, met P_{ij}(0) = δ_{ij}.

Voorbeelden zijn onder meer een tijdshomogene Poisson-proces, waarbij de interarrivatieregels identiek verdeeld blijven, en geboorte-vermindering processen met constante geboorte- en sterftestrates. Tijdshomogeenheid vergemakkelijkt analysemethoden en de studie van langetermijneigenschappen zoals stationaire distributies. Tegenhangers zijn tijdsinhomogene processen, waarbij de overgangsprobabiliteiten afhankelijk zijn van zowel t als s.