Kolmogorovvergelijkingen

Kolmogorovvergelijkingen zijn een set van differentiaal- of verschilvergelijkingen die de tijds-evolutie van de waarschijnlijkheidsverdeling van een Markov-proces beschrijven. Ze zijn genoemd naar Andrei Kolmogorov en vormen een fundamentele basis in de stochastische proceskunde. De vergelijkingen verschijnen in zowel discrete alscontinue tijd en in discrete als continue toestandruimte.

Er zijn twee hoofdvormen: de forward (of Kolmogorov-forward) vergelijking en de backward (of Kolmogorov-backward) vergelijking. Voor een continu tijds Markovketting met generator Q, is de transition-probabiliteitsmatrix P(t) met Pij(t) = P(Xt = j | X0 = i). De forward vergelijking luidt: d/dt P(t) = P(t) Q, met P(0) = I. De backward vergelijking luidt: d/dt P(t) = Q P(t), met P(0) = I. Deze formules geven de tijd-variatie van de kansverdelingen of transitiekenmerken, en leveren informatie over stationaire verdelingen en verwachte waardes.

Bij diffusieve processen, bijvoorbeeld dXt = a(Xt) dt + b(Xt) dWt, leveren de forward en backward Kolmogorov-vergelijkingen respectievelijk de Fokker-Planck-vergelijking en de bijbehorende dubbel-operator. De forward-vergelijking voor de kansdichtheid p(x,t) is ∂p/∂t = - ∂x[a(x)p] + (1/2) ∂^2x[b^2(x)p]. De backward-vergelijking heeft de vorm ∂u/∂t = a(x) ∂x u + (1/2) b^2(x) ∂^2x u, vaak toegepast bij verwachtingswaarden van functies van Xt.

Toepassingen van Kolmogorovvergelijkingen zijn wijdverspreid: heden in queueing theory en population dynamics, in financiële prijsmodellen via risiconevaluatie en in natuur- en fysische systemen waar stochasticiteit een rol speelt. Ze bieden een raamwerk om transition probabilities, verdelingen en functionals van Markov-processen te bestuderen.