overconvexiteit

Overconvexiteit is een term die af en toe in Nederlandse wiskundige discussies voorkomt om een eigenschap te beschrijven die verder gaat dan gewone convexiteit. Het is echter geen standaard, universeel gedefinieerde term in de literatuur; de exacte betekenis varieert per auteur en context. In verschillende bronnen wordt overconvexiteit gebruikt om een van de volgende versterkte vormen van convexiteit aan te duiden.

Een gangbare verwarring bestaat met strikte convexiteit: een functie f is strikt convex als de convex combinatie van twee verschillende punten strikt lager ligt dan de lineaire combinatie van de functiewaarden, oftewel f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t) f(y) voor x ≠ y en t in (0,1). Een ander veelvoorkomend sterkereigenschap is sterke (of uniforme) convexiteit: er bestaat een μ > 0 zodanig dat f(y) ≥ f(x) + ∇f(x)ᵀ(y−x) + (μ/2)||y−x||² voor alle x,y. Sommige auteurs gebruiken overconvexiteit informeler om precies deze versterkte vormen aan te duiden, of om een hogere graad van convexiteit (bijv. hogere-orde-convexiteit) te impliceren.

In optimalisatie leidt een sterkere convexiteit doorgaans tot unie-minimumpunten en betere convergentie-eigenschappen van algoritmen. Vanwege het gebrek aan een eenduidige, formele definitie moet men het begrip per tekst precisely controleren.

Zie ook: convexiteit, strikte convexiteit, sterke convexiteit, uniforme convexiteit, algemene convexiteit.